რა არის დაჯგუფება

ამ ვიდეოში გიჩვენებთ კიდევ რამდენიმე ტექნიკას, თუ როგორ დავშალოთ მრავალწევრები მარტივ მამრავლებად. კონკრეტულად მინდა კვადრატულ მრავალწევრებზე შევჩერდე, რომელთა წამყვანი კოეფიციენტი ერთისგან განსხვავებული რიცხვია. ვთქვათ, გვინდა დავშალოთ ოთხჯერ x-კვადრატს პლუს 25x მინუს 21. აქამდე რაც დაგვიშლია მარტივ მამრავლებად, ყველა შემთხვევაში გვქონდა ერთი ან მინუს ერთი იმ ადგილას, სადაც ახლა ოთხიანია. ახლა უცებ ეს ოთხიანი გვაქვს. ტექნიკას, რომელსაც ახლა გასწავლით, ეწოდება მამრავლებად დაშლა დაჯგუფებით. ცოტა უფრო შრომატევადი, მაგრამ კარგი მეთოდია. რაღაც შემთხვევებში ის აზრს დაკარგავს, როცა გეცოდინებათ კვადრატული განტოლების ფორმულა, რაც უფრო მარტივია. ახლა კი გიჩვენებთ ამ მეთოდის ტექნიკას, ვიდეოს ბოლოს კი გიჩვენებთ თუ რატომ მუშაობს ეს მეთოდი. აქ ასეთი რამ გვჭირდება, უნდა მოვიფიქროთ ორი რიცხვი, a და b, ისე, რომ a გამრავლებული b-ზე ტოლი იყოს ოთხჯერ მინუს 21-ის. ესეიგი, a-ჯერ b უდრის ოთხჯერ მინუს 21-ს, ანუ უდრის მინუს 84-ს. ასევე, ამ ორი რიცხვის ჯამი ტოლი უნდა იყოს 25-ის. ნათელი რომ იყოს, ეს არის 25, ანუ მათი ჯამი 25-ის ტოლი გვინდა იყოს. აქ არის ოთხიანი. ოთხჯერ მინუს 21 -- ეს მინუს 21 არის -- რა იქნება ეს ორი რიცხვი? შევხედოთ მინუს 84-ის მამრავლებს. ისევ, ერთ-ერთი მათგანი დადებითი იქნება. ერთ-ერთი უნდა იყოს უარყოფითი, რადგან ნამრავლი უარყოფითია. ვნახოთ სხვა რა მამრავლები შეიძლება გამოგვადგეს. ოთხი და მინუს 21 კარგად გამოიყურება, მაგრამ მათი შეკრებით 17 მიიღება. მინუს ოთხი და 21 რომ გვქონდეს, მაშინ 17-ს მივიღებთ. არ გამოდის. სხვა კომბინაციები ვცადოთ. ერთი და 84 ზედმეტად დიდ რიცხვს მოგვცემს სხვაობისას -- რეალურად ორი რიცხვის სხვაობა უნდა ავიღოთ, რადგან ნიშნები სხვადასხვაა -- დაშორება ზედმეტად დიდია. მაშინ, ვცადოთ სამი -- არა, ადრეა -- ვცადოთ ორი და 42. ისევ, დაშორება დიდია. მინუს ორი და 42 ჯამში 40-ს უდრის, ორს პლუს უარყოფითი 42 კი მინუს 40-ის ტოლია. მაშინ სამი ვცადოთ. 84-ში სამი მოთავსდება.. რვაში მოთავსდება ორჯერ, ორჯერ სამი უდრის ექვსს, რვას მინუს ექვსი არის ორი, გადმოვიტანოთ ოთხი.. მოთავსდება ზუსტად რვაჯერ. ესეიგი სამი და 28. საინტერესოა. არ დაგავიწყდეთ, ერთ-ერთი უარყოფითი უნდა იყოს. თუ გვაქვს მინუს სამს პლუს 28, მივიღებთ 25-ს. ესეიგი ორი რიცხვი ვიპოვეთ, თუმცა ეს ისევე უბრალო საქმე არ იქნება, როგორც ეს ერთის ან მინუს ერთის შემთხვევაში იყო. ახლა გავაკეთებთ ასეთ რამეს: გავყოთ ეს წევრი. გავყოთ 28x მინუს 3x-ად. -- უბრალოდ გავყავით წევრი -- ეს წევრები ერთი და იგივეა. ცხადია, აქ გვაქვს მინუს 21 და ოთხჯერ x-კვადრატი. შეიძლება გაგიჩნდეთ კითხვა, რის მიხედვით დავწერე 28 აქ და მინუს სამი აქ? ამას მნიშვნელობა აქვს. ეს გავაკეთე ასე: სამს ან მინუს სამს და 21-ს ან მინუს 21-ს აქვთ საერთო მამრავლები, კონკრეტულად მათ საერთო მამრავლია სამი. 28-სა და ოთხსაც აქვთ საერთო მამრავლები, ამიტომ 28 დავაჯგუფე ოთხთან. მალე ნახავთ რასაც ვგულისხმობ. დავაჯგუფოთ ისე, რომ ეს წევრი გახდეს ოთხჯერ x-კვადრატს პლუს 28x, აქეთ კი სამ x-ს მინუს 21-ს დავწეროთ. ისევ, ეს ჩვენი არჩევანია. მინუს სამი და 21 დავაჯგუფეთ, რადგან ორივე იყოფა სამზე. 28 და ოთხი დავაჯგუფეთ რადგან ორივე იყოფა ოთხზე. ახლა, ორივე ჯგუფს მამრავლებად ვშლით რამდენადაც შეგვიძლია. აქ ორივე წევრი იყოფა 4x-ზე, ესეიგი ეს სტაფილოსფერი წევრი ტოლი იქნება 4x-ჯერ x პლუს შვიდის. ახლა მეორე წევრი. დაიმახსოვრეთ, ფრჩხილებს გარეთ რისი გატანაც შეგიძლიათ, გაგაქვთ. ორივე წევრი იყოფა მინუს სამზე. გავიტანოთ სამი ფრჩხილებს გარეთ. ეს გახდება x-ს პლუს შვიდი. ახლა შეიძლება რაღაც შეამჩნიოთ. გვაქვს x პლუს შვიდჯერ ოთხი x, პლუს x პლუს შვიდჯერ მინუს სამი. ესეიგი შეგვიძლია ფრჩხილებს გარეთ გავიტანოთ x პლუს შვიდი. ეს შეიძლება ცხადი არ იყოს. ალბათ არ ხართ მიჩვეული ორწევრის ფრჩხილებს გარეთ გატანას. შეგიძლიათ ამას შეხედოთ როგორც რამე a-ს. თუ გვაქვს 4x-ჯერ a მინუს 3a, შეგვიძლია a ფრჩხილებს გარეთ გავიტანოთ. -- ეს კი შეგვიძლია მინუს ნიშნად დავტოვოთ -- -- ამას წავშლი, რადგან პლუს მინუს სამი არის მინუს სამი -- რა გავაკეთოთ აქ? გვაქვს 4x-ჯერ x-ს პლუს შვიდი. აქ კი გვაქვს სამჯერ x-ს პლუს შვიდი. გავიტანოთ x-ს პლუს შვიდი ფრჩხილებს გარეთ. მივიღებთ x პლუს შვიდჯერ 4x მინუს სამს. -- მინუს ეს სამიანი -- ესეც ასე, კვადრატული მრავალწევრი დაჯგუფებით გადავწერეთ მამრავლებად. გადავწერეთ ორწევრების სახით. სხვა მაგალითიც გავაკეთოთ, რადგან ბევრი მუშაობაა საჭირო. როცა მიეჩვევით, სახალისოც გახდება. ვთქვათ, გვინდა მამრავლებად დავშალოთ ექვსჯერ x-კვადრატს პლუს 7x პლუს ერთი. ლოგიკა იგივეა. გვინდა ვიპოვოთ a-ჯერ b ისეთი, რომ 1) უდრიდეს ერთხელ ექვსს, ანუ ექვსს. და 2) a-სა და b-ს ჯამი იყოს შვიდი. -- ეს შედარებით მარტივია -- რა რიცხვები იქნება? ცხადია, ეს უნდა იყოს ერთი და ექვსი. ერთხელ ექვსი ექვსია, ერთს პლუს ექვსი კი - შვიდი. ესეიგი a არის ერთი -- -- ან, არაა საჭირო a და b -- გვაქვს რიცხვები ერთი და ექვსი. ახლა ეს უნდა გავყოთ 1x პლუს 6x-ად. გვინდა დავაჯგუფოთ, ამიტომ ისე უნდა დალაგდეს, რომ წევრებს საერთო მამრავლები გააჩნდეთ. ესეიგი აქ გვექნება 6-ჯერ -კვადრატი, პლუს -- -- ჯერ 6x-ს დავწერ, რადგან ექვსსა და ექვსს საერთო გამყოფი გააჩნიათ. შემდეგ, გვექნება 1x, ხომ ასეა? 6x პლუს 1x უდრის 7x-ს. მთელი აზრიც ეს იყო, მათი ჯამი შვიდის ტოლია. და ბოლოს, გვაქვს პლუს ერთი. ახლა, თითოეულ ამ ჯგუფში ფრჩხილებს გარეთ უნდა გავიტანოთ რაც შეგვიძლია მეტი. პირველ ჯფუფში შეგვიძლია 6x-ის გატანა. ესეიგი პირველი ჯგუფი იქნება -- 6-ჯერ x-კვადრატი გაყოფილი 6x-ზე არის x. 6x გაყოფილი 6x-ზე არის ერთი. შემდეგ, მეორე ჯგუფი -- აქ პლუსი გვექნება -- მეორე ჯგუფში უკვე პირდაპირ გვაქვს x პლუს ერთი, რაც იგივეა, რაც ერთჯერ x პლუს ერთი. შეგიძლიათ წარმოიდგინოთ რომ ერთიანი ფრჩიხლებს გარეთ გავიდა. ახლა გვაქვს 6x-ჯერ x პლუს ერთს პლუს ერთჯერ x პლუს ერთი. შეგვიძლია x პლუს ერთი ფრჩხილებს გარეთ გავიტანოთ. თუ x პლუს ერთს ფრჩხილებს გარეთ გავიტანთ, მივიღებთ x პლუს ერთჯერ 6x პლუს ერთს. აქ უბრალოდ განრიგებადობას ვიყენებთ უკუღმა. იმედია გაუგებარი არაა თქვენთვის. ახლა კი აგიხსნით თუ რატომ მუშაობს ეს პატარა მაგიური მეთოდი. გავარჩიოთ მაგალითი ზოგად შემთხვევას ავიღებ. ვთქვათ, გვაქვს ax პლუს b გამრავლებული -- -- ალბათ a-სა და b-ს გამოყენებით დაგაბნევთ, აქაც ხომ გამოვიყენე -- სხვა ასოებს გამოვიყენებ. ვთქვათ, ავიღოთ fx პლუს g გამრავლებული hx პლუს -- i-ს მაგივრად j-ზე -- მომავალში გაიგებთ რატომ არ ვიყენებ i-ს ცვლადად. რისი ტოლი იქნება ეს? გავშალოთ: fx-ჯერ hx, რაც უდრის fh-ჯერ x-კვადრატს, შემდეგ, fx-ჯერ j, ანუ პლუს fjx, შემდეგ გვექნება g-ჯერ hx, ანუ პლუს ghx, და ბოლოს g-ჯერ j, ანუ პლუს gj. თუ შუა წევრებს შევკრებთ, გვექნება fh-ჯერ x-კვადრატი, პლუს -- შევკრიბოთ ეს ორი წევრი -- fj პლუს gh გამრავლებული x-ზე, პლუს gj. რა გავაკეთეთ აქ? გაიხსენეთ, ასეთ მაგალითებში აქ გვაქვს კოეფიციენტი, რომელიც არც ერთის და არც მინუს ერთის ტოლია და ვეძებთ ისეთ რიცხვებს, რომელთა ჯამი უდრის ამას, ნამრავლი კი უდრის ამათ ნამრავლს. აქ გვაქვს ორი რიცხვი რომლებიც იკრიბება -- ვთქვათ, a იყოს fj -- -- ეს იყოს a -- b კი ტოლი იყოს gh-ის. ესეიგი a პლუს b ტოლი იქნება შუა კოეფიციენტის. რას უდრის a-ჯერ b? a-ჯერ b ტოლი იქნება fj-ჯერ gh-ის. შეგვიძლია თანმიმდევრობა შევცვალოთ, რადგან უბრალოდ ვამრავლებთ რიცხვებს, ანუ გვექნება f-ჯერ h-ჯერ g-ჯერ j. ეს ყველაფერი ერთი და იგივეა. რა არის fh გამრავლებული gj-ზე? ეს არის fh-ჯერ gj, ანუ პირველი კოეფიციენტი გამრავლებული მუდმივ წევრზე. ესეიგი a პლუს b ტოლი იქნება შუა კოეფიციენტის, a-ჯერ b კი ტოლი იქნება პირველი კოეფიციენტის და მუდმივი წევრის ნამრავლის. სწორედ ამიტომ მუშაობს დაჯგუფებით მამრავლებად დაშლა, ამიტომ შეგვიძლია a-სა და b-ს პოვნა. ოდნავ განსხვავებული მაგალითით დავასრულებ, იმისთვის, რომ მამრავლებად დაშლის ნამდვილად საფუძვლიანი ცოდნა მოგცეთ. მინდა მამრავლებად დაშლა უფრო სრულყოფილად იცოდეთ. ეს ერთგვარი დამატება იქნება, მინდოდა ამაზე ცალკე ვიდეო გამეკეთებინა, მაგრამ მგონი ისედაც ნათელი იქნება თქვენთვის. ვთქვათ გვაქვს -- კარგ მაგალითს მოვიფიქრებ -- ვთქვათ, გვაქვს მინუს x ხარისხად სამი, პლუს 17-ჯერ x-კვადრატი, მინუს 70x. თავიდანვე იფიქრებთ რომ ეს არაა კვადრატული და ამისი ამოხსნა არ იცით. აქ ხომ x ხარისხად სამი შედის. უნდა გაიაზროთ, რომ აქ ყოველი წევრი იყოფა x-ზე. მაშინ, გავიტანოთ x ფრჩხილებს გარეთ. ან, საერთოდ, მინუს x გავიტანოთ ფრჩხილებს გარეთ. ამის გაკეთების შემდეგ მივიღებთ: მინუს x გამრავლებული -- მინუს x-კუბი გაყოფილი მინუს x-ზე არის x-კვადრატი -- 17-ჯერ x-კვადრატი გაყოფილი მინუს x-ზე არის მინუს 17x. მინუს 70x გაყოფილი მინუს x-ზე არის დადებითი 70. x-ები ბათილდება. ახლა გვაქვს რაღაც, რაც უფრო ნაცნობია. ახლა უბრალოდ გვაქვს სტანდარტული კვადრატული მრავალწევრი, კოეფიციენტით ერთი. უნდა ვიპოვოთ ორი რიცხვი, რომელთა ნამრავლია 70, ჯამი კი მინუს 17. პირველი რა რიცხვებიც მომივიდა თავში არის მინუს შვიდი და მინუს ათი. მათი ნამრავლი უდრის 70-ს, მათი ჯამი კი არის მინუს 17. ესეიგი ეს იქნება x მინუს ათი, ეს კი x მინუს შვიდი. ცხადია, თავში იქნება მინუს x. მთავარია დაინახოთ რისი გატანა შეიძლება ფრჩხილებს გარეთ. ასე მიხვალთ იმ ფორმამდე რომელიც ნაცნობია. იმედია ვიდეო დაგეხმარათ. მინდა გავიმეორო რაც ვიდეოს დასაწყისში ვთქვი, მგონი, საკმაოდ კარგი ხერხია ისეთი მრავალწევრების მამრავლებად დაშლისთვის, რომელთაც წამყვან კოეფიციენტად ერთი ან მინუს ერთი არ აქვთ. თუმცა კიდევ უფრო გაგიმარტივდებათ ამისი გაკეთება, როცა კვადრატულ ფორმულას ისწავლით. მალე ისწავლით ამ ფორმულასაც.